График линейной функции является одним из важнейших понятий в математике. Это графическое отображение зависимости величины, описываемой линейным уравнением, от её аргумента. График линейной функции представляет собой прямую линию на координатной плоскости.
График линейной функции имеет несколько особенностей, которые делают его легко узнаваемым. Во-первых, график всегда представляет собой прямую линию. Во-вторых, угловой коэффициент этой прямой определяет наклон графика. Если угловой коэффициент положительный, то график идет вверх, если отрицательный — вниз. Наконец, в точке пересечения графика с осью ординат (y-осью) значение равно свободному члену линейного уравнения.
Для построения графика линейной функции необходимо знать её уравнение. Оно имеет вид y = kx + b, где k — угловой коэффициент, x — аргумент, b — свободный член. Чтобы построить график, нужно выбрать несколько значений аргумента x и подставить их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения функции y. Затем полученные точки можно отметить на координатной плоскости и соединить их прямой линией.
Определение и примеры
Построение графика линейной функции может быть осуществлено путем выбора нескольких точек на плоскости и их последующего соединения прямой линией. Для этого можно присвоить различные значения x и, используя уравнение функции, вычислить соответствующие значения y. Полученные пары значений (x, y) образуют точки на графике.
Например, для линейной функции y = 2x + 1 можно выбрать несколько значений x, например, x = 0, x = 1 и x = 2. Затем, используя уравнение функции, можно вычислить соответствующие значения y. Пары значений (x, y) будут следующими: (0, 1), (1, 3) и (2, 5). Подключая каждую пару точек, можно получить график линейной функции.
График линейной функции представляет собой прямую линию на плоскости. Если коэффициент k положителен, то прямая будет наклонена вверх, а если коэффициент k отрицателен, то прямая будет наклонена вниз. Значение b определяет точку пересечения прямой с осью y.
Свойства графика линейной функции
Угловой коэффициент k линейной функции определяет ее наклон. Если k положительное число, то график линейной функции возрастает слева направо, а если k отрицательное число, то график убывает.
Сдвиг по оси y b определяет местоположение графика линейной функции на плоскости. Если b положительное число, то график сдвигается вверх, а если b отрицательное число, то график сдвигается вниз.
График линейной функции всегда является прямой линией, проходящей через точку (0, b), где b — свободный член линейной функции.
Единственность графика линейной функции означает, что для любой комбинации значений k и b график линейной функции будет являться прямой линией, и никакие другие значения не могут создать аналогичный график.
Симметрия графика линейной функции относительно оси x означает, что если точка (x, y) лежит на графике, то точка (-x, -y) тоже будет лежать на графике.
Расширение графика линейной функции происходит при изменении углового коэффициента k или свободного члена b. Увеличение значения k увеличивает наклон графика, а увеличение значения b сдвигает график вверх.
Как построить график линейной функции
Для построения графика линейной функции необходимо знать значения коэффициентов m и b. Сначала нарисуем координатную плоскость с осями x и y. Затем, используя свободный коэффициент b, мы определим точку (0, b) на оси y. Далее, с помощью коэффициента наклона m, мы определим вторую точку, соединив которую с точкой (0, b), получим прямую линию.
Чтобы построить еще точки на графике, мы можем выбрать любые значения x и вычислить соответствующие значения y, используя уравнение y = mx + b. Пары значений (x, y) образуют точки, которые мы затем соединяем прямой линией, получая график линейной функции.
График линейной функции может быть положительным (функция возрастает), отрицательным (функция убывает) или горизонтальным (функция не меняется).
Построение графика линейной функции является важным инструментом для визуализации зависимости между переменными. Оно позволяет понять, как изменение значений переменной x влияет на переменную y и какие значения принимает функция в разных точках.
Примеры построения графика
Для лучшего понимания того, как выглядит график линейной функции, рассмотрим несколько примеров построения.
Пример 1:
Построим график функции y = 2x + 1. Для этого выберем несколько значений для x и найдем соответствующие значения y. Затем отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их прямой линией.
Выберем значения x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и найдем соответствующие значения y:
x = -3: y = 2(-3) + 1 = -5
x = -2: y = 2(-2) + 1 = -3
x = -1: y = 2(-1) + 1 = -1
x = 0: y = 2(0) + 1 = 1
x = 1: y = 2(1) + 1 = 3
x = 2: y = 2(2) + 1 = 5
x = 3: y = 2(3) + 1 = 7
Теперь отметим эти точки на координатной плоскости:
Точка A (-3, -5)
Точка B (-2, -3)
Точка C (-1, -1)
Точка D (0, 1)
Точка E (1, 3)
Точка F (2, 5)
Точка G (3, 7)
И наконец, соединим эти точки прямой линией:
Пример 2:
Построим график функции y = -0.5x + 2. Действуем аналогично первому примеру: выбираем значения для x, находим соответствующие значения y, отмечаем точки и соединяем их прямой линией.
Выберем значения x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 и найдем соответствующие значения y:
x = -4: y = -0.5(-4) + 2 = 4
x = -3: y = -0.5(-3) + 2 = 3.5
x = -2: y = -0.5(-2) + 2 = 3
x = -1: y = -0.5(-1) + 2 = 2.5
x = 0: y = -0.5(0) + 2 = 2
x = 1: y = -0.5(1) + 2 = 1.5
x = 2: y = -0.5(2) + 2 = 1
x = 3: y = -0.5(3) + 2 = 0.5
x = 4: y = -0.5(4) + 2 = 0
Отметим эти точки на координатной плоскости:
Точка A (-4, 4)
Точка B (-3, 3.5)
Точка C (-2, 3)
Точка D (-1, 2.5)
Точка E (0, 2)
Точка F (1, 1.5)
Точка G (2, 1)
Точка H (3, 0.5)
Точка I (4, 0)
Теперь соединим эти точки прямой линией:
Таким образом, построение графика линейной функции сводится к выбору значений для x, нахождению соответствующих значений y, отметке этих точек на координатной плоскости и соединению их прямой линией.